Ekscytacje Maxa. Migające diody LED i śliniący się inżynierowie (23)

Clive „Max” Maxfield

28 lipca 2025

382

O rety! Nie do wiary, ale znów jest Gwiazdka. Nie wiem, jak to będzie – brak mi przygotowanego przemówienia i nie mam się w co ubrać... Jednym z problemów jest to, że jest tak wiele fajnych rzeczy do zrobienia, ale tak mało czasu, aby je wszystkie zrobić. Problemem pokrewnym jest to, że robię tyle fajnych rzeczy, iż mój biedny stary mózg jest zapchany „różnościami” – na przykład...

Poprzednia część

Spis treści

Następna część Toc right icon

1. Ekscytacje Maxa. Migające diody LED i śliniący się inżynierowie (1) 2. Ekscytacje Maxa. Migające diody LED i śliniący się inżynierowie (2) 3. Ekscytacje Maxa. Migające diody LED i śliniący się inżynierowie (3) 4. Ekscytacje Maxa. Migające diody LED i śliniący się inżynierowie (4) 5. Ekscytacje Maxa. Migające diody LED i śliniący się inżynierowie (5) 6. Ekscytacje Maxa. Migające diody LED i śliniący się inżynierowie (6) 7. Ekscytacje Maxa. Migające diody LED i śliniący się inżynierowie (7) 8. Ekscytacje Maxa. Migające diody LED i śliniący się inżynierowie (8) 9. Ekscytacje Maxa. Migające diody LED i śliniący się inżynierowie (9) 10. Ekscytacje Maxa. Migające diody LED i śliniący się inżynierowie (10) 11. Ekscytacje Maxa. Migające diody LED i śliniący się inżynierowie (11) 12. Ekscytacje Maxa. Migające diody LED i śliniący się inżynierowie (12) 13. Ekscytacje Maxa. Migające diody LED i śliniący się inżynierowie (13) 14. Ekscytacje Maxa. Migające diody LED i śliniący się inżynierowie (14) 15. Ekscytacje Maxa. Migające diody LED i śliniący się inżynierowie (15) 16. Ekscytacje Maxa. Migające diody LED i śliniący się inżynierowie (16) 17. Ekscytacje Maxa. Migające diody LED i śliniący się inżynierowie (17) 18. Ekscytacje Maxa. Migające diody LED i śliniący się inżynierowie (18) 19. Ekscytacje Maxa. Migające diody LED i śliniący się inżynierowie (19) 20. Ekscytacje Maxa. Migające diody LED i śliniący się inżynierowie (20) 21. Ekscytacje Maxa. Migające diody LED i śliniący się inżynierowie (21) 22. Ekscytacje Maxa. Migające diody LED i śliniący się inżynierowie (22) 23. Ekscytacje Maxa. Migające diody LED i śliniący się inżynierowie (23)

Rozwiń cały spis treści Zwiń spis treści

Transformacje toroidalne

Z powodów, które wyjaśnię w odpowiednim czasie, rozmyślam nad matematyką związaną z tematem torusa, zwanego też (co prawda rzadko) „pączkiem z dziurką”. Ale pełnowymiarowy torus to dopiero przyszłość. Zanim do niego dojdziemy, najpierw wyobraźmy sobie, że wycięliśmy z papieru pasek. Nazwijmy narożniki na jednym końcu paska A i C, a odpowiadające im narożniki na drugim końcu A’ i C’. Teraz zaginamy pasek tak, aby utworzył okrąg. Jeśli połączymy dwa końce „jeden do jednego”, bez skręcania paska, tak że narożnik A’ jest połączony z A, a narożnik C’ – z C, to otrzymamy zwykły pierścień, który ma dwie krawędzie (na rysunku: górną i dolną) oraz dwa boki (zewnętrzny i wewnętrzny).

A teraz zobaczmy, co się stanie, jeśli przed połączeniem obu końców paska jeden z nich zostanie przekręcony o pół obrotu (180°). Narożnik A’ zostanie połączony z C, a C’ z A. Utworzyliśmy wstęgę Möbiusa (zwaną też „pętlą Möbiusa”), który ma tylko jedną krawędź i jeden bok (A → A’ → C → C’ → A). Tę figurę na pewno widzieliście już wcześniej, a jeśli nie, to może spróbujcie zrobić ją samemu – po prostu, żeby się przekonać.

Gdybyśmy przed połączeniem obu końców wykonali pełny skręt (360°), to znów otrzymamy dwa boki i dwie krawędzie. I tak dalej – skręty 0, 1, 2, 3... dają dwa boki i dwie krawędzie, podczas gdy skręty ½, 1½, 2½, 3½... dają jeden bok i jedną krawędź.

Jak dotąd wszystko idzie dobrze. Załóżmy teraz, że dodajemy coś, co można nazwać „paskiem poprzecznym”. W tym przypadku narożniki na jednym końcu możemy nazwać A, B, C i D, a odpowiadające im narożniki na drugim końcu A’, B’, C’ i D’. Ponownie zacznijmy od wygięcia naszego paska w celu utworzenia kółka i połączenia dwóch końców „jeden do jednego” bez skręcania paska w taki sposób, że A’ jest połączony z A, B’ jest połączony z B, C’ jest połączony z C, a D’ jest połączony z D. W tym przypadku otrzymujemy cztery krawędzie (A → A’, B → B’, C → C’ i D → D’) i cztery boki (obie strony płaszczyzny ograniczonej przez A, C, C’, A i obie strony płaszczyzny ograniczonej przez B, D, D’, B).

A teraz pytania. Zacznijmy od prostego: ile krawędzi i boków będziemy mieli, jeśli jeden koniec paska zostanie skręcony całkowicie (360°) przed połączeniem dwóch końców (A’ będzie nadal połączone z A, B’ z B, C’ z C i D’ z D)? Pytanie drugie – trudniejsze, ale tylko trochę: ile krawędzi i boków będziemy mieć, jeśli przed połączeniem końców jeden z nich zostanie skręcony w połowie (180°) – czyli A’ będzie połączone z C, B’ z D, C’ z A, a D’ z B? Pytanie trzecie (przyprawiające już o ból głowy): ile krawędzi i boków będziemy mieć, jeśli przed połączeniem jeden koniec skręcimy o ćwierć obrotu (90°) (A’ do B, B’ do C, C’ do D, a D’ do A)?

Odpowiedzi znajdziecie na końcu artykułu.

Elektronika, która działa

Tak bez związku z czymkolwiek – gdy piszę te słowa, mój kumpel Steve Leibson opublikował właśnie recenzję całkiem interesującej książki zatytułowanej Designing Electronics that Work (Projektowanie elektroniki, która działa) autorstwa Huntera Scotta – patrz https://bit.ly/3qk3qBq. Darzę Steve’a dużym szacunkiem, więc jeśli on mówi, że ta książka jest warta przeczytania, to ja mu wierzę. Steve posuwa się nawet tak daleko, że mówi: „Wersja PDF tej książki jest bezpłatna. A więc – czy jesteś hobbystą, czy początkującym inżynierem, czy też weteranem, który wie pod jakim kątem trzymać język podczas dostrajania układów elektronicznych – egzemplarz tej książki powinieneś ściągnąć sobie jeszcze dziś”.