Zaloguj się
Wszystkie
28 lipca 2025
71
Transformacje toroidalne
Z powodów, które wyjaśnię w odpowiednim czasie, rozmyślam nad matematyką związaną z tematem torusa, zwanego też (co prawda rzadko) „pączkiem z dziurką”. Ale pełnowymiarowy torus to dopiero przyszłość. Zanim do niego dojdziemy, najpierw wyobraźmy sobie, że wycięliśmy z papieru pasek. Nazwijmy narożniki na jednym końcu paska A i C, a odpowiadające im narożniki na drugim końcu A’ i C’. Teraz zaginamy pasek tak, aby utworzył okrąg. Jeśli połączymy dwa końce „jeden do jednego”, bez skręcania paska, tak że narożnik A’ jest połączony z A, a narożnik C’ – z C, to otrzymamy zwykły pierścień, który ma dwie krawędzie (na rysunku: górną i dolną) oraz dwa boki (zewnętrzny i wewnętrzny).
A teraz zobaczmy, co się stanie, jeśli przed połączeniem obu końców paska jeden z nich zostanie przekręcony o pół obrotu (180°). Narożnik A’ zostanie połączony z C, a C’ z A. Utworzyliśmy wstęgę Möbiusa (zwaną też „pętlą Möbiusa”), który ma tylko jedną krawędź i jeden bok (A → A’ → C → C’ → A). Tę figurę na pewno widzieliście już wcześniej, a jeśli nie, to może spróbujcie zrobić ją samemu – po prostu, żeby się przekonać.
Gdybyśmy przed połączeniem obu końców wykonali pełny skręt (360°), to znów otrzymamy dwa boki i dwie krawędzie. I tak dalej – skręty 0, 1, 2, 3... dają dwa boki i dwie krawędzie, podczas gdy skręty ½, 1½, 2½, 3½... dają jeden bok i jedną krawędź.
Jak dotąd wszystko idzie dobrze. Załóżmy teraz, że dodajemy coś, co można nazwać „paskiem poprzecznym”. W tym przypadku narożniki na jednym końcu możemy nazwać A, B, C i D, a odpowiadające im narożniki na drugim końcu A’, B’, C’ i D’. Ponownie zacznijmy od wygięcia naszego paska w celu utworzenia kółka i połączenia dwóch końców „jeden do jednego” bez skręcania paska w taki sposób, że A’ jest połączony z A, B’ jest połączony z B, C’ jest połączony z C, a D’ jest połączony z D. W tym przypadku otrzymujemy cztery krawędzie (A → A’, B → B’, C → C’ i D → D’) i cztery boki (obie strony płaszczyzny ograniczonej przez A, C, C’, A i obie strony płaszczyzny ograniczonej przez B, D, D’, B).
A teraz pytania. Zacznijmy od prostego: ile krawędzi i boków będziemy mieli, jeśli jeden koniec paska zostanie skręcony całkowicie (360°) przed połączeniem dwóch końców (A’ będzie nadal połączone z A, B’ z B, C’ z C i D’ z D)? Pytanie drugie – trudniejsze, ale tylko trochę: ile krawędzi i boków będziemy mieć, jeśli przed połączeniem końców jeden z nich zostanie skręcony w połowie (180°) – czyli A’ będzie połączone z C, B’ z D, C’ z A, a D’ z B? Pytanie trzecie (przyprawiające już o ból głowy): ile krawędzi i boków będziemy mieć, jeśli przed połączeniem jeden koniec skręcimy o ćwierć obrotu (90°) (A’ do B, B’ do C, C’ do D, a D’ do A)?
Odpowiedzi znajdziecie na końcu artykułu.
Elektronika, która działa
Tak bez związku z czymkolwiek – gdy piszę te słowa, mój kumpel Steve Leibson opublikował właśnie recenzję całkiem interesującej książki zatytułowanej Designing Electronics that Work (Projektowanie elektroniki, która działa) autorstwa Huntera Scotta – patrz https://bit.ly/3qk3qBq. Darzę Steve’a dużym szacunkiem, więc jeśli on mówi, że ta książka jest warta przeczytania, to ja mu wierzę. Steve posuwa się nawet tak daleko, że mówi: „Wersja PDF tej książki jest bezpłatna. A więc – czy jesteś hobbystą, czy początkującym inżynierem, czy też weteranem, który wie pod jakim kątem trzymać język podczas dostrajania układów elektronicznych – egzemplarz tej książki powinieneś ściągnąć sobie jeszcze dziś”.
Facebook
Twitter
Linkedin
Kup teraz
