Serwisy partnerskie:
Close icon
Serwisy partnerskie

Modulacja sigma-delta: Przetworniki SD cz.2 (rozdzielczość, dokładność, szumy kwantyzacji)

W EdW 4/2020 oraz w pierwszej części niniejszego artykułu w sposób uproszczony omówiliśmy koncepcję przetwornika – modulatora sigma-delta. Koncepcja jest dziwna, ale okazuje się bardzo atrakcyjna. Już wspomnieliśmy, że właśnie na bazie tej dziwnej koncepcji z jednobitowym przetwornikiem – zwyczajnym komparatorem, można zbudować przetworniki ADC o zaskakująco dużej precyzji – o rozdzielczości sięgającej 24, a nawet więcej bitów!
Article Image

Rozdzielczość, dokładność oraz szumy kwantyzacji - przetworniki sigma-delta

Aktualnie większość precyzyjnych przetworników ADC to przetworniki sigma-delta. Trzeba jednak pamiętać, że ich realna dokładność – precyzja, jest mniejsza od deklarowanej rozdzielczości bitowej. Przykładowo przetwornik ΣΔ oznaczony AD7177-2 reklamowany jest jako 32-bitowy o prędkości przetwarzania 10kSPS – rysunek 1. Czyli na wyjściu daje wynik pomiaru o ogromnej rozdzielczości, mianowicie w postaci liczby 32-bitowej.

Owszem daje, ale zgodnie z rysunkiem 2 przy częstotliwości 10kSPS (10 000 pomiarów na sekundę), zależnie od konfiguracji, spośród tych 32 bitów tylko 18,7...21,9 najstarszych bitów zawiera czystą, wierną informację. Pozostałe zawierają szum – przypadkowe dane. Maksymalną precyzję przetwornik ten osiąga przy przetwarzaniu 5 próbek na sekundę (5SPS), ale też nie są to 32 bity, tylko 24,6...27,3 bita wiernej, czystej, bezszumnej informacji, natomiast najmłodsze bity też zawierają szumy – przypadkowe dane.

Rys.1 Przetwornik ΣΔ oznaczony AD7177-2

Trzeba jednak podkreślić, że uzyskanie 24 bitów czystej, prawdziwej informacji jest osiągnięciem wręcz rewelacyjnym! Precyzja 24-bitowa oznacza, że przetwornik ma dynamikę ponad 144dB, że prawidłowo rozróżnia napięcia różniące się tylko o 0,000006%, czyli np. przy napięciu odniesienia Uref = 5V rozróżnia różnice napięcia wejściowego mniejsze niż 0,3 mikrowolta! Odrębna kwestia to precyzja i stabilność napięcia odniesienia Uref...

W każdym razie w przetworniku sigma-delta precyzję osiągamy w sumie dlatego, że nie badamy jednorazowo chwilowej amplitudy, jak to jest w przetworniku typu flash (z bezpośrednim porównaniem), tylko poniekąd sprawdzamy chwilowe przyrosty sygnału.

W przetworniku AD7177-2 wewnętrzny zegar taktujący wewnętrzny przetwornik sigma-delta ma częstotliwość 16MHz. Intuicja słusznie podpowiada, że precyzja związana jest z liczbą próbek badanych podczas jednego pomiaru: czym więcej próbek, tym lepsza dokładność. Ogólnie biorąc, czym wyższa częstotliwość taktowania przetwornika sigma-delta (ΣΔ), tym mniejsze są szumy (związane z kwantyzacją). I właśnie przetworniki ΣΔ z zasady mają mniejsze szumy kwantyzacji niż inne przetworniki ADC. Dlaczego?

Rys.2 Ile bitów zawiera czystą, wierną informację

Matematyczne podstawy i zależności są skomplikowane, dziedzina cyfrowa miesza się tu z analogową, ale my spróbujemy omówić kluczowe kwestie w sposób mocno uproszczony. Zaczniemy nie od przetworników sigma-delta, tylko od klasycznych przetworników ADC, gdzie w jednym takcie zegara od razu uzyskujemy wartość mierzonego sygnału wejściowego. Niech będą to przetworniki typu flash – z bezpośrednim porównaniem, zawierające drabinkę wielu jednakowych rezystorów i mnóstwo komparatorów.

Otóż mierzone sygnały analogowe to nie tylko napięcia stałe, ale także zmienne. Mamy więc do przetworzenia na postać cyfrową analogowe sygnały wejściowe o jakimś paśmie od zera (napięcie stałe) do jakiejś (niedużej) częstotliwości fs.

Z twierdzenia Nyquista wiadomo, że aby uniknąć poważnych przekłamań (aliasing), częstotliwość próbkowania musi być co najmniej 2 razy większa od najwyższych składowych sygnału mierzonego czyli od częstotliwości fs. Trzeba też skutecznie odfiltrować składniki o częstotliwościach powyżej fs. Wtedy poważnych, grubych błędów unikniemy, ale nie unikniemy szumów kwantowania, które w sumie wynikają z niedokładnego określania chwilowej amplitudy sygnału przez przetwornik, który ma jakąś ograniczona rozdzielczość.

Oczywiście szumy kwantowania są tym mniejsze, czym większa jest rozdzielczość bitowa przetwarzania. I to jest jasne: czym z większą dokładnością określamy amplitudę kolejnych próbek, tym mniejsze są szumy kwantowania. Ale tu dochodzimy do trudniejszej kwestii. Sygnały mierzone mają częstotliwości zawarte w paśmie 0...fs. Częstotliwość próbkowania ft musi wynosić co najmniej 2*fs.

Powstające szumy kwantowania też mają jakieś częstotliwości i okazuje się, że częstotliwości te rozkładają się równomiernie w paśmie 0...ft. Jeżeli częstotliwość próbkowania ft = 2*fs, to wszystkie szumy kwantowania zawarte są w paśmie sygnału użytecznego, jak pokazuje rysunek 3a i nie sposób ich w żaden sposób zredukować czy odfiltrować.

Jeżeli jednak zwiększymy częstotliwość próbkowania ft, to szumy kwantowania rozłożą się równomiernie w szerszym paśmie 0..ft/2. A wtedy te składniki o częstotliwościach większych od fs można odfiltrować, co zmniejszy szumy w użytecznym (cyfrowym) sygnale wyjściowym. Tę prostą i intuicyjną zależność (dla jakiejś konkretnej rozdzielczości bitowej) ilustruje rysunek 3b.

Rys.3 Moc szumów - częstotliwość

Mamy więc sposób na zmniejszenie szumów kwantowania przez znaczne zwiększenie częstotliwości próbkowania (oversampling). Aby jednak w klasycznym przetworniku ADC w ten sposób w znaczącym stopniu zmniejszyć szumy, częstotliwość próbkowania ft musiałaby być bardzo duża, co w wielobitowych przetwornikach jest dużym problemem.

Inaczej jest przy zastosowaniu prostego, w sumie jednobitowego przetwornika sigma-delta (ΣΔ), ponieważ częstotliwość próbkowania po pierwsze i tak musi być zdecydowanie większa od fs, a po drugie z zasady występuje tam inny, bardzo korzystny rozkład częstotliwościowy mocy szumów kwantyzacji. Mianowicie w przetworniku ΣΔ moc szumów nie jest rozłożona liniowo, tylko skupiona jest w zakresie wyższych częstotliwości, co ilustruje rysunek 3c. Oznacza to, że łatwo je odfiltrować i w pasmie użytecznym do fs małe szumy kwantowania uzyskamy w przetwornikach ΣΔ o niezbyt dużych częstotliwościach próbkowania ft, możliwych do praktycznej realizacji.

W paśmie użytecznym cyfrowy sygnał wyjściowy przetwornika ΣΔ o odpowiednio wysokiej częstotliwości taktowania ft zawiera mało szumów, czyli wiernie odwzorowuje analogowy sygnał wejściowy. I można to jeszcze poprawić. Na rysunku 4a przypomniany jest podstawowy schemat blokowy przetwornika ΣΔ, zawierający tylko jeden obwód całkujący.

Jest to przetwornik – modulator ΣΔ pierwszego rzędu. Nie wchodząc w bardzo skomplikowane szczegóły, można powiedzieć, że odpowiednio zwiększając liczbę członów całkujących, możemy uzyskać przetworniki ΣΔ wyższych rzędów, które będą mieć jeszcze lepsze właściwości szumowe. Przykład modulatora ΣΔ drugiego rzędu pokazany jest na rysunku 4b. Czym wyższy rząd przetwornika sigma-delta, tym mniej szumów kwantowania zawartych jest w pasmie użytecznym 0...fs, a główna część szumów kwantowania ma wyższe częstotliwości, a więc można je łatwo odfiltrować.

Rys.4 Podstawowy schemat blokowy przetwornika ΣΔ

W uproszczeniu można to sobie wytłumaczyć, wracając do podstawowej koncepcji przetwornika delta, gdzie mówiliśmy, że aktualną wartość sygnału wejściowego porównujemy z sygnałem z obwodu-układu przewidującego – predykcyjnego. Prościutki układ przewidujący z jednym obwodem całkującym daje dość dobre wyniki, ale zastosowanie bardziej wyrafinowanego układu przewidującego z dwoma lub więcej obwodami całkującymi da wyniki jeszcze lepsze. Na rysunku 5 pokazany jest rozkład widma szumów w modulatorach różnych rzędów.

Najprościej biorąc – czym więcej takich obwodów całkujących, czyli czym wyższy rząd przetwornika ΣΔ, tym bardziej szumy z pasma użytecznego są wypychane w górę pasma, co jest bardzo korzystne. Niestety, jednocześnie rośnie ryzyko niestabilności (oscylacji, samowzbudzenia) przetwornika. Oprócz aspektów matematycznych, w grę wchodzą też dodatkowe aspekty praktyczne związane z technologią realizacji przetworników typu ΣΔ.

Ponadto inne są wymagania i potrzeby w scalonych układach przetworników/modulatorów sigma-delta do różnych zastosowań. Konstruktorzy mają tu szerokie pole do popisu, ale zadania są niełatwe. W literaturze można znaleźć mnóstwo najróżniejszych opracowań układów z różnie zrealizowanymi modulatorami ΣΔ, czego omówienie zdecydowanie wykracza poza ramy artykułu. Do omówienia pozostaje natomiast inny ważny szczegół.

Rys.5 Rozkład widma szumów w modulatorach różnych rzędów

Pomiar napięć stałych - przetworniki sigma-delta

Klasyczne przetworniki ADC (modulatory PCM) bez problemu mierzą także stałe napięcia wejściowe. Napięcie stałe można w nich zmierzyć za pomocą jednorazowego pomiaru – na podstawie jednej próbki.

Natomiast zasada działania przetworników DPCM, a w szczególności jednobitowych przetworników typu delta i sigma-delta, polega w sumie na tym, że mierzone są przyrosty wartości sygnału wejściowego w czasie. Aktualną wartość (amplitudę) sygnału można odtworzyć, ale na pewno nie z pojedynczej próbki, tylko na podstawie bardzo wielu jednobitowych próbek. Wygląda na to, że w przetworniku przyrostowym delta do wiernej rekonstrukcji potrzebne byłyby wszystkie poprzednie próbki. A to wskazuje też, że przetwornik typu delta musi pracować ciągle, a nie w sposób przerywany czy jednorazowy.

W napięciu stałym nie ma przyrostów, więc nasuwa się oczywisty wniosek, że przetwornik ADC typu delta nie może mierzyć napięć stałych. Mniej jasne jest to w przypadku przetworników – modulatorów typu ΣΔ, które są odmianą przetwornika delta. Działanie przetworników ΣΔ też opiera się na pomiarze różnic, przy czym pętla wewnętrznego sprzężenia zwrotnego dąży do minimalizacji tych różnic (błędu). Jednak to działanie jest inne i przetwornik ΣΔ może mierzyć także napięcia stałe.

Każdy przetwornik, także ΣΔ, ma jakiś zakres napięć wejściowych, od jakiegoś napięcia Umin do jakiegoś napięcia Umax, które prawidłowo zostaną przetworzone na postać cyfrową. Stałe napięcie wejściowe równe napięciu Umax powinno dać na cyfrowym wyjściu przetwornika ΣΔ same jedynki (nieprzerwany ciąg jedynek), a napięcie stałe na wejściu równe napięciu Umin powinno dać na cyfrowym wyjściu same zera. Napięcia stałe o wartościach pośrednich powinny dawać na cyfrowym wyjściu ciąg zer i jedynek o proporcji między nimi wyznaczonej przez wartość tego stałego napięcia wejściowego.

Już takie uproszczone rozumowanie wskazuje, że przetworniki ΣΔ mogą mierzyć napięcia stałe i wolnozmienne. Nasuwa się tu jednak szereg pytań i wątpliwości. Na przykład to, jak długo trzeba czekać po podaniu napięcia stałego na wejście przetwornika ΣΔ, czyli ile potrzeba taktów zegara, żeby sygnał cyfrowy na wyjściu dokładnie odpowiadał wartości stałego napięcia wejściowego?

Odpowiedzi na takie i pokrewne pytania wymagają zaawansowanej analizy i wykraczają poza ramy artykułu.

Częściową, ale za to jak najbardziej praktyczną odpowiedź przynoszą karty katalogowe przetworników sigma-delta, gdzie podane jest, jak dokładność zależy od szybkości przetwarzania. Zawsze zwiększenie szybkości, czyli skrócenie czasu pomiaru, związane jest ze zmniejszeniem precyzji pomiaru – widać to choćby na rysunku 2. Ma to duże znaczenie zwłaszcza w przetwornikach ΣΔ, na których wejściu pracuje multiplekser pozwalający mierzyć napięcia z kilku niezależnych źródeł.

W każdym razie klasyczny modulator ΣΔ nie jest optymalny do przetwarzania (pomiaru) napięć stałych. W literaturze można znaleźć sporo materiałów o problemach związanych z przetwarzaniem przebiegów wolnozmiennych i stałych w modulatorach ΣΔ. W niektórych opisach można znaleźć dokładniejsze informacje, dlaczego przy pomiarze napięć (wolno) zmiennych precyzja jest znacząco lepsza niż przy pomiarze napięć stałych. Poza ramy artykułu wykraczają też dokładniejsze informacje o przetwornikach...

Na czym polegają przetworniki Incremental Sigma-Delta?

Słowo incremental – przyrostowy nie tłumaczy ich działania. Najprościej biorąc, można je traktować jako przetworniki sigma-delta, ale z dodatkowym licznikiem oraz obwodami zerowania członu całkującego – integratora. Cykl pracy zaczyna się od zerowania integratora i licznika, po czym licznik zlicza określoną liczbę impulsów: czym większą, tym lepsza może być rozdzielczość i dokładność przetwarzania. Na wyjściu integratora występuje napięcie dodatnie albo ujemne.

Po zliczeniu tych impulsów na wejście integratora podawane jest napięcie odniesienia albo dodatnie, albo ujemne, zależnie od napięcia. Ich działanie przypomina pracę znanych od bardzo dawna przetworników ADC z podwójnym całkowaniem. Przetworniki Incremental Sigma-Delta mogą być jeszcze dokładniejsze od przetworników sigma-delta, ale zwykle są powolniejsze.

To są jednak zagadnienia dla najbardziej zaawansowanych. Większość elektroników bez wnikania w szczegóły matematyczne i technologiczne może cieszyć się obecnością na rynku mnóstwa precyzyjnych przetworników sigma-delta. Trzeba tylko zwracać uwagę na ich rzeczywiste możliwości, opisane w kartach katalogowych.

Tematyka materiału: przetworniki ADC, sigma-delta
AUTOR
Źródło
Elektronika dla Wszystkich sierpień 2020
Udostępnij
UK Logo