Zaloguj się
Wszystkie
16 czerwca 2025
27
Jak już wiemy, analogowy sygnał jest konwertowany na postać cyfrową w procesie kwantowania. W wyniku konwersji otrzymujemy zbór liczb reprezentujących ten sygnał w domenie dyskretnej. Jeżeli kwantowanie (pobieranie próbek) zostało wykonane prawidłowo, czyli z częstotliwością spełniającą kryterium Nyquista, to ze zbioru próbek można odtworzyć sygnał analogowy bez utraty jakości. Analogowy sygnał jest przekształcany do domeny cyfrowej poprzez mierzenie i zapisywanie wartości amplitudy napięcia z częstotliwością próbkowania Fs, czyli w jednakowych odstępach czasu równych 1/Fs. Zakładamy, że napięcie jest mierzone z nieskończoną rozdzielczością, czyli próbki mają charakter wartości analogowych. Kolejnym krokiem jest kwantyzacja, czyli zapisanie wartości owych próbek z określoną rozdzielczością bitową (na przykład 16 bitów).
Trzeba zwrócić uwagę na dwa ważne fakty, wynikające z dyskretnego przetwarzania sygnału. Po pierwsze pobieramy i zapisujemy próbki co zadany okres i tylko w tych momentach mamy informację o wartości próbkowanego sygnału. To, co się dzieje z sygnałem pomiędzy kolejnymi momentami próbkowania, nie zostanie zapisane i wydaje się, że jest bezpowrotnie tracone. Po drugie zarejestrowana amplituda sygnału po procesie kwantowania będzie, z dużym prawdopodobieństwem, różnić się od rzeczywistej wartości sygnału mierzonego w momentach następujących co 1/Fs. Proces kwantyzacji napięcia musi nieuchronnie prowadzić do powstania zniekształceń amplitudy odtworzonej na podstawie tak zapisanych próbek.
Jak zobaczymy dalej, nie musi to jednak być tożsame z modyfikacją kształtu sygnału, czyli wprowadzaniem zniekształceń harmonicznych.
Kwantyzacja jest odpowiednikiem stosowanej w radiofonii modulacji amplitudy (AM). Ciąg impulsów o stałej amplitudzie (nośna), pojawiających się w odstępach czasowych równych 1/Fs, jest modulowany wartością próbek odczytywanych z zapisanego zbioru (sygnał modulujący). Podobnie jak radiowa modulacja AM, proces ten wytwarza pasma boczne powyżej i poniżej nośnej. Innymi słowy, próbkowanie również wytwarza pasma boczne, chociaż nośna jest teraz ciągiem impulsów i ma nieskończoną ilość harmonicznych. Pasma boczne powtarzają się powyżej i poniżej każdej harmonicznej częstotliwości próbkowania.
Pasmo podstawowe zawiera widmo sygnału kwantowanego i ma szerokość od 0 Hz do Fb, gdzie Fb to maksymalna częstotliwość sygnału kwantowanego.
Opisane zjawiska powstają w procesie kwantyzacji, czyli konwersji analogowo-cyfrowej. Proces odwrotny, czyli konwersja cyfrowo-analogowa, ma za zadanie odtworzyć z zapisanych próbek oryginalny sygnał analogowy.
Zastanówmy się, jak mógłby wyglądać proces konwersji cyfrowo-analogowej. Wyobraźmy sobie urządzenie (przetwornik), które z pliku pobiera liczbę odpowiadającą amplitudzie skwantowanego sygnału. Na podstawie jej wartości przetwornik wystawia na wyjściu impulsy co 1/Fs o zerowym czasie trwania i napięciu proporcjonalnym do napięcia odniesienia (czyli napięcia pełnego zakresu). Odpowiadają one próbkom pobranym w procesie kwantowania sygnału. Ponieważ próbki są zapisywane jako liczby całkowite bez znaku, to dodaje się do nich stały offset o wartości równej połowie ich maksymalnej amplitudy.
Na początek załóżmy, że mamy na wyjściu przetwornika ciąg idealnych impulsów. Jak już wiemy, ich widmo zawiera pasmo podstawowe od 0 Hz do Fb i powielone pasma z wstęgami bocznymi o szerokości równej wartości Fs, układającymi się symetrycznie wokół wielokrotności częstotliwości próbkowania Fs. Można się spodziewać, że po konwersji tego ciągu impulsów na sygnał analogowy będzie on zawierał pasmo podstawowe i powielone pasma. Proces kwantyzacji powoduje zatem powielanie pasma w domenie cyfrowej, czyli próbki zawierają – oprócz skwantowanego pasma – „matematyczną” informację o jego powielonych kopiach. Niestety po konwersji odwrotnej te powielone pasma z domeny cyfrowej pojawiają się w rzeczywistym sygnale analogowym. W prawidłowo skwantowanym sygnale (bez aliasingu) te znajdują się one poza pasmem akustycznym (obejmującym zakres od 0 Hz do Fb) i w praktyce powinniśmy się ich bez problemu pozbyć. Jest na to prosty sposób – filtrowanie dolnoprzepustowe. Na początek poddamy zatem to pasmo idealnemu, analogowemu filtrowaniu dolnoprzepustowemu. Filtr powinien przenosić bez zmian wszystkie częstotliwości od 0 Hz do Fs/2 i całkowicie tłumić częstotliwości powyżej Fs/2. Wyniku filtrowania mamy wyodrębnione pasmo podstawowe od 0 Hz do Fs/2. Wszystkie wstęgi powielonego pasma, tak jak chcieliśmy, zostały idealnie odfiltrowane (stłumione).
Każdy z impulsów na wyjściu przetwornika jest poddawany działaniu tego filtra dolnoprzepustowego. Odpowiedź impulsowa liniowego fazowo, idealnego, dolnoprzepustowego filtra na takie pobudzenie jest zgodna z funkcją sin(x)/x (w dziedzinie czasu). Inaczej mówiąc: jeżeli na wejście idealnego filtra dolnoprzepustowego podamy impuls o pomijalnym czasie trwania, to na jego wyjściu otrzymamy przebieg odpowiadający funkcji sin(x)/x. To jednak nie wszystko. Przebieg sin(x)/x przechodzi przez wartości zerowe w odległościach 1/Fs. Dlatego odpowiedź impulsowa wywołana opisywanym pobudzeniem nie wpływa na odpowiedzi impulsowe filtra dla kolejnych próbek, pojawiających się co czas 1/Fs.
Jeżeli teraz podamy na wejście idealnego filtra dolnoprzepustowego ciąg impulsów z wyjścia przetwornika, to przebiegi sin(x)/x na wyjściu filtra będą tworzyły obwiednię, zbudowaną z sumy odpowiedzi impulsowych na impulsy reprezentujące kolejne próbki i odtwarzającą próbkowany przebieg bez zniekształceń.
Dyskretny sygnał, reprezentowany przez próbki pobierane z częstotliwością Fs, jest przekształcany do postaci ciągłej w dziedzinie czasu poprzez filtrowanie impulsów wyjściowych przetwornika filtrem dolnoprzepustowym. Filtr ten musi przenosić bez zmian pasmo podstawowe do częstotliwości Fs/2, a tłumić wszystkie pasma powielone powyżej Fs/2. Taki układ spełnia rolę filtra rekonstruującego.
NAPISZ DO AUTORA
Facebook
Twitter
Linkedin
Kup teraz
